નિશ્ચાયક અને વિધેય અભ્યાસ માર્ગદર્શિકા
Definition (વ્યાખ્યા): A scalar value that can be computed from the elements of a square matrix. / ચોરસ શ્રેણિકના ઘટકો પરથી મેળવી શકાતું અદિશ મૂલ્ય.
Real-life Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Used in engineering to solve complex systems of linear equations (like circuit analysis). / એન્જિનિયરિંગમાં સુરેખ સમીકરણોની જટિલ સિસ્ટમ્સ (જેમ કે સર્કિટ એનાલિસિસ) ઉકેલવા માટે.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
A $2 \times 2$ determinant is solved by cross-multiplying the primary diagonal and subtracting the secondary diagonal product. A $3 \times 3$ determinant requires expanding by minors along any row or column. / $2 \times 2$ નિશ્ચાયક મુખ્ય વિકર્ણના ગુણાકારમાંથી ગૌણ વિકર્ણનો ગુણાકાર બાદ કરીને ઉકેલાય છે. $3 \times 3$ નિશ્ચાયકને કોઈપણ હાર અથવા સ્તંભ દ્વારા વિસ્તૃત કરીને ઉકેલી શકાય છે.
Evaluate / કિંમત શોધો: $$ \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 6 \end{vmatrix} $$
Step-by-step:
$$ \begin{aligned} &= (-1)(6) - (3)(-4) \\ &= -6 - (-12) \\ &= -6 + 12 = 6 \end{aligned} $$
Solve for x / x શોધો: $$ \begin{vmatrix} x & -3 \\ -1 & x \end{vmatrix} = 33 $$
Step-by-step:
$$ \begin{aligned} (x)(x) - (-3)(-1) &= 33 \\ x^2 - 3 &= 33 \\ x^2 &= 36 \implies x = \pm 6 \end{aligned} $$
Evaluate / કિંમત શોધો: $$ \begin{vmatrix} -1 & 6 & -2 \\ 5 & 0 & 7 \\ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} $$
Step-by-step:
$$ \begin{aligned} &= -1(0 - 7) - 6(-15 - 28) - 2(5 - 0) \\ &= -1(-7) - 6(-43) - 2(5) \\ &= 7 + 258 - 10 = 255 \end{aligned} $$
Solve for x / x શોધો: $$ \begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 7 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 30 $$
Step-by-step:
$$ \begin{aligned} x(0 - 7) - 2(10 - 21) + 3(5 - 0) &= 30 \\ -7x - 2(-11) + 15 &= 30 \\ -7x + 22 + 15 &= 30 \\ -7x + 37 &= 30 \\ -7x &= -7 \implies x = 1 \end{aligned} $$
Solve for x / x શોધો: $$ \begin{vmatrix} 4 & 2 & x \\ 1 & 5 & -1 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 4 $$
Step-by-step:
$$ \begin{aligned} 4(15 - (-2)) - 2(3 - (-3)) + x(2 - 15) &= 4 \\ 4(17) - 2(6) + x(-13) &= 4 \\ 68 - 12 - 13x &= 4 \\ 56 - 13x &= 4 \\ -13x &= -52 \implies x = 4 \end{aligned} $$
Definition (વ્યાખ્યા): A mathematical relation that uniquely associates elements of one set (inputs) with elements of another set (outputs). / એક ગણના સભ્યોને (ઇનપુટ) બીજા ગણના સભ્યો (આઉટપુટ) સાથે અનન્ય રીતે સાંકળતો ગાણિતિક સંબંધ.
Real-life Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Modeling physical phenomena, like calculating the distance a vehicle travels over a specific function of time. / સમયના વિધેય તરીકે વાહને કાપેલું અંતર માપવા જેવી ભૌતિક ઘટનાઓનું મોડેલિંગ.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
A function $f(x)$ maps an input $x$ to a unique output. To find the value of a function at a specific point, substitute the given value wherever $x$ appears in the equation. / વિધેય $f(x)$ એ ઇનપુટ $x$ ને અનન્ય આઉટપુટ સાથે સાંકળે છે. કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર વિધેયની કિંમત શોધવા માટે, જ્યાં સમીકરણમાં $x$ દેખાય ત્યાં આપેલી કિંમત મૂકો.
If $f(x) = x^2 - 3x + 1$, find $f(2) + f(3)$.
Step-by-step:
Find $f(2)$: $f(2) = (2)^2 - 3(2) + 1 = -1$
Find $f(3)$: $f(3) = (3)^2 - 3(3) + 1 = 1$
Add them: $f(2) + f(3) = -1 + 1 = 0$
If $f(x) = 5^x$, find $f(-2)$.
Step-by-step:
Substitute $x = -2$ / $x = -2$ મૂકો:
$$ \begin{aligned} f(-2) &= 5^{-2} \\ &= \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \end{aligned} $$
If $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$, prove $f(x) + f(1/x) = 0$.
Step-by-step:
Calculate $f(1/x)$:
$$ \begin{aligned} f(1/x) &= \frac{1 - 1/x}{1 + 1/x} \\ &= \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x-1}{x+1} \end{aligned} $$
Notice that $\frac{x-1}{x+1} = - \left(\frac{1-x}{1+x}\right) = -f(x)$
Therefore, $f(x) + f(1/x) = f(x) - f(x) = 0$.
If $f(x) = e^x$, prove $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$.
Step-by-step:
Substitute $(x+y)$ into the function:
$$ \begin{aligned} f(x+y) &= e^{x+y} \\ &= e^x \cdot e^y \\ &= f(x) \cdot f(y) \end{aligned} $$
If $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$, prove $f(f(x)) = x$.
Step-by-step:
Substitute $f(x)$ inside $f(x)$:
$$ \begin{aligned} f(f(x)) &= \frac{1 - f(x)}{1 + f(x)} \\ &= \frac{1 - \left(\frac{1-x}{1+x}\right)}{1 + \left(\frac{1-x}{1+x}\right)} \end{aligned} $$
Find common denominator:
$$ \begin{aligned} &= \frac{\frac{1+x - (1-x)}{1+x}}{\frac{1+x + 1-x}{1+x}} \\ &= \frac{2x}{2} = x \end{aligned} $$
Definition (વ્યાખ્યા): The inverse function to exponentiation. It represents the power to which a base must be raised to produce a given number. / ઘાતાંકનું વ્યસ્ત વિધેય. આપેલી સંખ્યા મેળવવા માટે આધારની કેટલી ઘાત કરવી પડે તે દર્શાવે છે.
Real-life Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Measuring earthquake magnitude on the Richter scale, where each whole number step represents a tenfold increase in measured amplitude. / રિક્ટર સ્કેલ પર ભૂકંપની તીવ્રતા માપવા.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
If $a^y = x$, then the base-$a$ logarithm of $x$ is $y$, written as $\log_a x = y$. The base $a$ must be positive and not equal to 1. / જો $a^y = x$ હોય, તો $x$ નો $a$ આધારનો લઘુગણક $y$ થાય છે, જેને $\log_a x = y$ લખાય છે. આધાર હંમેશા ધન અને 1 સિવાયનો હોવો જોઈએ.
Find value / કિંમત શોધો: $\log_3 1$
Step-by-step:
Let $\log_3 1 = x$. In exponential form:
$$ 3^x = 1 $$
Since any non-zero number to the power of 0 is 1 ($3^0 = 1$):
$$ x = 0 $$
If $\log_x (9/16) = -2$, find $x$.
Step-by-step:
Convert to exponential form / ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતાં:
$$ \begin{aligned} x^{-2} &= \frac{9}{16} \\ \frac{1}{x^2} &= \frac{9}{16} \\ x^2 &= \frac{16}{9} \implies x = \frac{4}{3} \end{aligned} $$
Find value / કિંમત શોધો: $4^{\log_4 16}$.
Step-by-step:
Using the identity (નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા): $a^{\log_a N} = N$
Here, $a = 4$ and $N = 16$.
$$ 4^{\log_4 16} = 16 $$
If $\sqrt{\log_3 x} = 2$, find $x$.
Step-by-step:
Square both sides / બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$$ \begin{aligned} \log_3 x &= 2^2 = 4 \\ x &= 3^4 \implies x = 81 \end{aligned} $$
Definition (વ્યાખ્યા): Mathematical rules (Product, Quotient, Power, and Base Change laws) that allow the simplification of complex logarithmic expressions. / ગાણિતિક નિયમો (ગુણાકાર, ભાગાકાર, ઘાત અને આધાર પરિવર્તન) જે લઘુગણક સમીકરણોને સરળ બનાવે છે.
Real-life Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Simplifying complex multiplication and division in sound engineering when working with decibels (dB). / સાઉન્ડ એન્જિનિયરિંગમાં ડેસિબલ્સ (dB) સાથે કામ કરતી વખતે જટિલ ગણતરીઓ સરળ કરવા.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
The laws of logarithms transform multiplication into addition ($\log(xy) = \log x + \log y$), division into subtraction ($\log(x/y) = \log x - \log y$), and exponentiation into multiplication ($\log(x^y) = y \log x$). The base change formula allows us to swap bases: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. / લઘુગણકના નિયમો ગુણાકારને સરવાળામાં, ભાગાકારને બાદબાકીમાં અને ઘાતાંકને ગુણાકારમાં ફેરવે છે. આધાર પરિવર્તન સૂત્ર આધાર બદલવામાં મદદ કરે છે.
Find value: $\log 1 \cdot \log 2 \cdot \log 3 \cdot \log 4$.
Step-by-step:
We know that $\log 1 = 0$.
$$ \begin{aligned} &= 0 \cdot \log 2 \cdot \log 3 \cdot \log 4 \\ &= 0 \end{aligned} $$
Prove: $\frac{1}{\log_{24} 12} + \frac{1}{\log_{8} 12} + \frac{1}{\log_{9} 12} = 3$.
Step-by-step:
Using Base Change Rule: $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$
$$ \begin{aligned} \text{LHS} &= \log_{12} 24 + \log_{12} 8 + \log_{12} 9 \\ &= \log_{12} (24 \times 8 \times 9) \\ &= \log_{12} (1728) \\ &= \log_{12} (12^3) \\ &= 3 \log_{12} 12 = 3 \end{aligned} $$
If $\log \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}(\log x + \log y)$, prove $x = y$.
Step-by-step:
$$ \begin{aligned} \log \left(\frac{x+y}{2}\right) &= \frac{1}{2}\log(xy) \\ &= \log(xy)^{1/2} \end{aligned} $$
Remove log: $\frac{x+y}{2} = \sqrt{xy}$
Square both sides: $(x+y)^2 = 4xy$
$$ \begin{aligned} x^2 + 2xy + y^2 - 4xy &= 0 \\ \implies (x-y)^2 &= 0 \\ \implies x &= y \end{aligned} $$
Solve: $\frac{\log x \times \log 16}{\log 32} = \log 256$.
Step-by-step:
Express values as powers of 2:
$$ \frac{\log x \times \log(2^4)}{\log(2^5)} = \log(2^8) $$
$$ \begin{aligned} \frac{\log x \times 4\log 2}{5\log 2} &= 8\log 2 \\ \implies \frac{4}{5}\log x &= 8\log 2 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \log x &= 10\log 2 \\ &= \log(2^{10}) \\ \implies x &= 1024 \end{aligned} $$
Prove: $7\log(16/15) + 5\log(25/24) - 3\log(80/81) = \log 2$.
Step-by-step:
Convert to prime factors $2, 3, 5$:
$$ \begin{aligned} &7(\log 2^4 - \log(3 \cdot 5)) \\ &+ 5(\log 5^2 - \log(2^3 \cdot 3)) \\ &- 3(\log(2^4 \cdot 5) - \log 3^4) \end{aligned} $$
Collect terms for $\log 2$:
$(7 \times 4) + (5 \times -3) - (3 \times 4) = 1$
Collect terms for $\log 3$:
$(7 \times -1) + (5 \times -1) - (3 \times -4) = 0$
Collect terms for $\log 5$:
$(7 \times -1) + (5 \times 2) - (3 \times 1) = 0$
Result: $1\log 2 = \log 2$.
Prove: $\frac{1}{\log_{xy} xyz} + \frac{1}{\log_{yz} xyz} + \frac{1}{\log_{zx} xyz} = 2$.
Step-by-step:
Base change: $\log_{xyz} (xy) + \log_{xyz} (yz) + \log_{xyz} (zx)$
Using Product Rule (ગુણાકાર નિયમ):
$$ \begin{aligned} &= \log_{xyz} (xy \cdot yz \cdot zx) \\ &= \log_{xyz} (x^2 y^2 z^2) \\ &= \log_{xyz} (xyz)^2 = 2 \end{aligned} $$
ઇન્ટરેક્ટિવ પ્રયોગશાળા: ગણિત ટૂલકિટ